COORDINATORI
Lorenzo Farina (Università di Roma "La Sapienza"), Carlo Piccardi (Politecnico di Milano), Sergio Rinaldi (Politecnico di Milano)
I sistemi positivi sono estremamente importanti nelle applicazioni, dove è frequente il caso in cui tutte le variabili significative assumano esclusivamente valori positivi (o al più nulli). Anzi, si potrebbe dire che, eccezion fatta per i sistemi elettromeccanici, i sistemi positivi sono la norma in tutti i settori dell'ingegneria e della scienza. Modelli costituiti da sistemi positivi sono infatti usati per descrivere, ad esempio, sistemi di stoccaggio, processi chimici, sistemi compartimentali, relazioni interpersonali, classi di reti neurali e di filtri digitali, processi demografici e socio-economici.
Il corso è diviso in tre parti. Nella prima, si definiranno i sistemi lineari positivi e si illustreranno, sfruttando le proprietà del grafo di influenza, alcune importanti proprietà, prima fra tutte la stabilità. Nella seconda parte si discuteranno le proprietà di raggiungibilità, osservabilità, realizzazione e ricostruzione degli ingressi, che sono decisamente peculiari nel contesto dei sistemi lineari positivi. Infine, nella terza parte si presenteranno alcuni risultati relativi all'estensione più significativa in campo non lineare, quella dei sistemi cooperativi (o monotoni).
La presentazione di tutti gli argomenti sarà accompagnata da numerosi esempi. In particolare, tre applicazioni saranno illustrate con particolare dettaglio.
Sintesi di filtri digitali. Le Charge
Routing Networks (CRN) sono dispositivi elettronici realizzati su circuiti
integrati MOS. Esse permettono di realizzare filtri numerici con
un elevato livello di integrazione, bassi consumi e costi ridotti. L'implementazione
di un assegnato filtro numerico mediante una CRN richiede fondamentalmente
la costruzione di una realizzazione positiva (se esiste) della funzione
di trasferimento del filtro. In tali filtri, infatti, le variabili di stato
rappresentano quantità di carica elettrica e sono quindi
vincolate ad assumere solo valori nonnegativi.
Risulta quindi fondamentale determinare quali
funzioni di trasferimento ammettano una realizzazione positiva e come questa
possa essere determinata.
Ricostruzione degli ingressi nei sistemi fisiologici. Nei sistemi fisiologici la ricostruzione degli ingressi è spesso l'unico modo per stimare segnali non direttamente accessibili. Nel caso dei modelli compartimentali, l'ingresso incognito può essere la velocità di comparsa di un farmaco nel plasma, la secrezione di un ormone, la produzione di glucosio. I principali problemi da affrontare sono il mal condizionamento del problema inverso ed il rispetto del vincolo di non negatività. E' possibile ottenere stime affidabili dell'ingresso ricorrendo a tecniche di regolarizzazione che, a differenza dei metodi nel dominio delle frequenze, sono in grado di gestire segnali campionati in modo infrequente e non uniforme. Il vincolo di non negatività può essere soddisfatto ricorrendo ad algoritmi di ottimizzazione vincolati quali il gradiente coniugato vincolato.
Sistemi biologici. E' una classe di modelli in cui la teoria dei sistemi monotoni trova naturale applicazione. I modelli fino ad oggi proposti del comportamento della cellula descrivono, su scala molecolare, le interazioni di natura chimica, diffusiva, e meccanica tra le varie particelle e sostanze presenti all'interno della cellula stessa ed hanno una complessità non dissimile da quella dei circuiti elettronici integrati. Le complesse interazioni che avvengono tra i vari compartimenti ben si prestano ad uno studio che miri ad individuare componenti monotone nella dinamica di queste reti estremamente complesse. Durante la lezione si farà riferimento particolare alla cosiddetta MAPK cascade, che costituisce ad oggi uno dei più studiati sistemi di trasmissione di segnali chimici intracellulari. Più in generale si illustreranno esempi di Reti di Reazioni Chimiche (Chemical Reaction Networks), evidenziando le proprietà di monotonia che i tassi di reazione godono rispetto alle concentrazioni dei reagenti.
DOCENTI DEL CORSO
Sergio Rinaldi (Politecnico di Milano)
Lorenzo Farina (Università di Roma
"La Sapienza")
Carlo Piccardi (Politecnico di Milano)
Maria Elena Valcher (Università
di Padova)
Luca Benvenuti (Università di Roma
"La Sapienza")
Giuseppe De Nicolao (Università
di Pavia)
David Angeli (Università di Firenze)
Paola Falugi (Università di Firenze)
PROGRAMMA DELLE LEZIONI
Lunedì 10 Luglio 2006
ore 8.30-13.00
Martedì 11 Luglio 2006
ore 8.30-13.00
Mercoledì 12 Luglio 2006
ore 8.30-13.00
INFORMAZIONI UTILI
Due libri di testo che vale la pena segnalare sono
Convegni esclusivamente dedicati ai sistemi
positivi sono i POSTA (Positive Systems Theory and Applications),
giunti quest'anno alla seconda edizione (visita i siti di Roma2003
e Grenoble2006).
Al Politecnico di Milano viene offerto, agli studenti di varie Lauree Specialistiche, il corso "Analisi dei sistemi cooperativi", il cui programma è in parte simile a quello di questa scuola (pagina web del corso).